Le risque de ruine au jeu : le calcul de la perte d'une bankroll
Le risque de ruine est la probabilité de perdre toute votre bankroll avant d'atteindre un objectif ou de décider d'arrêter. Dans tout jeu de casino avec un avantage de la maison, c'est le chiffre qui explique pourquoi « jouer jusqu'à doubler » se termine le plus souvent à zéro. Ce guide donne la formule, des tableaux que nous avons calculés pour les dés et la roulette, ce que la taille des mises et la volatilité changent, et ce qu'elles ne changent jamais.
Ce que veut dire le risque de ruine
Imaginez une bankroll de 100 unités, des mises fixes de 1 unité et un objectif de 200. Chaque mise vous fait monter ou descendre d'un cran. Tôt ou tard, vous atteignez 200 ou vous tombez à 0. Le risque de ruine, c'est la chance de toucher 0 en premier.
Dans un jeu parfaitement équitable, comme pile ou face payé 1 pour 1, la réponse est simple. Votre chance d'atteindre l'objectif est votre bankroll divisée par l'objectif : en partant de 100 avec un objectif de 200, vous avez 50 % de chances dans un sens comme dans l'autre.
Ajoutez un petit avantage contre vous et tout change. Le résultat classique, enseigné sous le nom de problème de la ruine du joueur dans le cours Mathematics for Computer Science du MIT, est :
P(atteindre l'objectif) = (r^n - 1) / (r^T - 1), où r = q/p
Ici, p est la chance de gagner une mise à égalité, q = 1 - p, n est votre bankroll en unités de mise et T l'objectif. Le risque de ruine est 1 moins ce chiffre.
Le risque de ruine quand on veut doubler sa bankroll
Nous avons appliqué la formule à quatre jeux à égalité, avec des mises fixes de 1 unité et un objectif égal au double de la bankroll de départ.
| Bankroll de départ (unités) | Pile ou face équitable | Dés 2x à 99 % de RTP | Roulette européenne, rouge | Roulette américaine, rouge |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 50,0 % | 55,0 % | 63,2 % | 74,2 % |
| 50 | 50,0 % | 73,1 % | 93,7 % | 99,5 % |
| 100 | 50,0 % | 88,1 % | 99,6 % | plus de 99,99 % |
| 500 | 50,0 % | plus de 99,99 % | plus de 99,99 % | plus de 99,99 % |
Les chances de gain utilisées sont 49,5 % pour les dés, 18/37 pour le rouge sur une roue à un zéro et 18/38 sur une roue à double zéro.
C'est le schéma qui compte. Une plus grosse bankroll ne vous protège pas ici, elle rend la ruine plus certaine, parce qu'une bankroll plus grande demande plus de mises avant d'arriver quelque part, et chaque mise paie l'avantage. À la roulette américaine, en partant de 100 $ en mises de 1 $, la chance d'atteindre 200 $ est d'environ 1 sur 37 650. Les notes du MIT donnent la même borne : moins de 1 sur 37 648.
Sans objectif, la ruine est certaine
Le tableau suppose que vous arrêtez quand vous doublez. Beaucoup de joueurs ne se fixent aucun objectif. Dans ce cas, le calcul est brutal : dans un jeu à avantage négatif, des mises fixes continuent jusqu'à ce que la bankroll soit épuisée, avec une probabilité de 1.
On peut toutefois calculer combien de temps cela prend en moyenne. Pour des mises fixes de 1 unité, le nombre attendu de mises avant la ruine est la bankroll divisée par (q - p) :
| Jeu | q - p | Mises attendues pour perdre 100 unités |
|---|---|---|
| Dés 2x à 99 % de RTP | 0,010 | 10 000 |
| Roulette européenne, rouge | 0,027 | 3 700 |
| Roulette américaine, rouge | 0,053 | 1 900 |
Sur un jeu de dés crypto rapide, 10 000 mises peuvent passer en une soirée avec la mise automatique. L'avantage est faible par mise, mais le nombre de mises, lui, ne l'est pas.
Le risque de ruine sur un nombre de mises donné
Une question plus pratique : si je joue un nombre fixe de mises, quelle est la probabilité de tout perdre en chemin? Nous l'avons calculé pas à pas pour des mises fixes de 1 unité à égalité, sans objectif, avec arrêt seulement à zéro.
| Jeu et bankroll | Ruiné en 1 000 mises | En 5 000 mises | En 10 000 mises |
|---|---|---|---|
| Dés 2x à 99 % de RTP, 50 unités | 18,2 % | 71,4 % | 87,3 % |
| Dés 2x à 99 % de RTP, 100 unités | 0,4 % | 36,5 % | 66,8 % |
| Roulette européenne rouge, 50 unités | 34,5 % | 95,2 % | 99,6 % |
| Roulette européenne rouge, 100 unités | 1,7 % | 78,9 % | 97,9 % |
Ici, une plus grosse bankroll aide, parce qu'il n'y a pas d'objectif à poursuivre : elle achète du temps. Passer de 50 à 100 unités fait tomber la chance de tout perdre dans les 1 000 premières mises de 18,2 % à 0,4 % aux dés. Mais cela ne fait que retarder l'issue. Continuez et chaque ligne monte vers 100 %.
Pour estimer votre propre chiffre, convertissez votre bankroll en unités de mise (bankroll divisée par votre mise habituelle), estimez le nombre de mises d'une séance et lisez la ligne la plus proche. Si la mise n'est pas à égalité, le risque est plus élevé que ce que montre le tableau, comme l'expliquent les sections suivantes.
La taille des mises : ce qu'elle change et ce qu'elle ne change pas
Prenez 1 000 $ à la roulette européenne, sur le rouge, avec un objectif de 2 000 $. Nous avons calculé la chance d'atteindre l'objectif, le total misé attendu et la perte attendue selon différentes mises fixes.
| Mise fixe | Chance d'atteindre 2 000 $ | Total misé attendu | Perte attendue |
|---|---|---|---|
| 1 $ | environ 3 sur 10^24 | 37 000 $ | 1 000 $ |
| 10 $ | 0,45 % | 36 669 $ | 991 $ |
| 100 $ | 36,8 % | 9 766 $ | 264 $ |
| 500 $ | 47,3 % | 1 999 $ | 54 $ |
| 1 000 $ | 48,6 % | 1 000 $ | 27 $ |
Deux choses sont vraies en même temps. Des mises plus grosses veulent dire moins de mises, donc l'avantage a moins de temps pour agir et la chance d'atteindre l'objectif est plus élevée. Mais la perte attendue reste de 2,70 % de tout ce que vous misez, dans chaque ligne. Aucune taille de mise ne donne mieux que 48,6 % de chances de doubler sur cette roue, ce qui n'est que la chance de 18/37 d'un seul tour. La maison gagne quand même en moyenne dans chaque ligne du tableau.
De petites mises ne rendent pas non plus un jeu négatif plus sûr. Elles rendent le résultat plus prévisible : avec des mises de 1 $, perdre les 1 000 $ est pratiquement certain.
Volatilité et gros multiplicateurs
Toutes les mises ne paient pas à égalité. Nous avons résolu le même problème pour trois mises sur un jeu à 99 % de RTP : 100 unités, mises fixes de 1 unité, arrêt à 200 ou à 0.
| Mise | Chance de gain | Chance d'atteindre 200 | Risque de ruine |
|---|---|---|---|
| Dés 2x | 49,5 % | 11,9 % | 88,1 % |
| Cible 10x | 9,9 % | 43,7 % | 56,3 % |
| Cible 100x | 0,99 % | 41,3 % | 58,7 % |
Une volatilité plus forte atteint l'objectif plus souvent ici pour la même raison que les grosses mises : des écarts moins nombreux et plus grands laissent moins de temps à l'avantage. Elle ne change pas la perte attendue par unité misée, et les longues séries de pertes sont normales. Une mise 100x à 0,99 % a environ 37 % de chances de passer 100 mises sans un seul gain.
Sans objectif, la même volatilité joue contre vous. Avec 100 unités et sans point d'arrêt, la chance d'être lessivé en 1 000 mises fixes est de 0,4 % à 2x, de 31,9 % à 10x et de 76,1 % à 100x. Des écarts plus grands atteignent zéro plus vite.
Les systèmes qui augmentent la mise après une perte, comme la Martingale, tentent d'échanger une forte chance de petits gains contre une faible chance d'une très grosse perte. Nos guides sur la stratégie aux dés de Stake et sur comment battre la roulette détaillent cet échange avec de vraies limites de table. Le risque de ruine ne disparaît pas, il se concentre dans une seule mauvaise série.
Miser un pourcentage et « ne jamais faire faillite »
Miser un pourcentage fixe de votre bankroll actuelle, disons 2 % par mise, veut dire que vous ne misez jamais votre dernière unité, donc en théorie vous n'atteignez jamais zéro. Dans un jeu à avantage négatif, la bankroll fond quand même vers rien avec le temps, simplement par pas de plus en plus petits. En pratique, les mises minimales vous arrêtent bien avant. Notre guide sur la gestion de bankroll en paris sportifs traite de la mise en pourcentage quand un parieur pense avoir un avantage, ce qui est une autre question que les jeux de la maison.
Le provably fair ne change pas le risque
Sur un jeu provably fair, vous pouvez vérifier que chaque lancer vient de seeds fixées avant votre mise, comme l'explique notre guide comment vérifier une mise provably fair. Cela vous protège contre un casino qui modifierait les résultats. Cela ne change ni la chance de gain ni le paiement, donc tous les chiffres de ce guide restent valables. Un jeu équitable avec 1 % d'avantage a exactement le risque de ruine des tableaux. Voyez que veut dire RTP pour la façon dont le paiement fixe cet avantage.
Ce que vous pouvez vraiment contrôler
- Fixez votre limite de perte avant de commencer. Traitez la bankroll comme de l'argent que vous acceptez de dépenser. Si la perdre vous ferait mal, elle est trop grosse.
- Décidez quand vous arrêtez. Sans point d'arrêt, la ruine est certaine dans un jeu à avantage négatif. Avec un point d'arrêt, elle reste probable.
- Surveillez le nombre de mises, pas seulement leur taille. Perte attendue = total misé x avantage de la maison. La mise automatique et les jeux rapides font grimper le total très vite.
- Préférez un avantage plus faible. À bankroll et mise égales, des dés à 99 % vous donnent beaucoup plus de temps qu'une roulette à double zéro.
- Utilisez les outils. Une limite de dépôt ou l'auto-exclusion plafonne la perte réelle. Notre page sur le jeu responsable indique où trouver de l'aide.
Sources
- MIT 6.042J Mathematics for Computer Science : Gambler's Ruin (A. R. Meyer, 2013)
- Mathematics for Computer Science (Lehman, Leighton et Meyer) : Gambler's Ruin, édition LibreTexts
- theScore Bet : règles de l'Euro Roulette (Evolution)
- Gamdom : Gamdom Originals (RTP autour de 99 %)
- Tous les tableaux calculés par nous en Python : formule fermée de la ruine du joueur et durée attendue pour les mises à égalité, et chaîne de Markov absorbante pour les mises 10x et 100x
Conditions clés
- Avantage de la maison
- Le pourcentage moyen de chaque mise qu'un jeu est conçu pour conserver au profit du casino.
- Taux de retour au joueur (RTP)
- La part de l'argent misé qu'un jeu est conçu pour reverser aux joueurs sur un très grand nombre de parties.
- Volatilité
- L'ampleur des variations des résultats d'un jeu : une volatilité élevée donne de rares gros gains, une volatilité faible de petits gains fréquents.
- Dice
- Jeu vérifiable par seeds où vous fixez un nombre cible et prédisez si le tirage aléatoire tombera au-dessus ou en dessous.
- Win chance
- The probability that a bet wins, shown by many provably fair games next to the payout multiplier.
- Target multiplier
- The multiplier a player chooses in limbo or auto cash-out crash; the bet wins if the result reaches it.
- Provably fair
- Une méthode cryptographique qui vous permet de confirmer qu'un résultat de jeu a été fixé avant votre pari et n'a pas été modifié ensuite.
- Limite de dépôt
- Un plafond que vous choisissez sur le montant que vous pouvez déposer sur un compte de casino par jour, par semaine ou par mois.
- Auto-exclusion
- Un blocage volontaire que vous imposez à votre propre jeu, chez un opérateur ou sur tout un marché régulé, pour une durée déterminée.